卷三十二
大學士張廷玉等奉 勅修
志第八
歷二
大統歷法一上【法原】
造歷者各有本原史宜備録使後世有以考如太初之起數鍾律大衍之造端蓍策皆詳本志授時歷以測驗算術為宗惟求合天不牽合律呂卦爻然其法之所以立數之所從出以及晷影星度皆有全書郭守敬齊履謙傳中有書名可考元史漫無采摭僅存李謙之議録歷經之初稿其後改三應率及立成之數與夫割圓弧矢之法平立定三差之原盡削不載使作者精意湮沒識者憾焉今據大統歷通軌及歷草諸書稍為編次首法原次立成次推步而法原之目七曰句股測望曰弧矢割圓曰黄赤道差曰黄赤道内外度曰白道交周曰日月五星平立定三差曰里差刻漏
句股測望
北京立四丈表冬至日午正測得景長七丈九尺八寸五分隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半為半弧背 求得矢度五度九十一分半 置周天半徑截矢餘五十四度九十六分為股乃本地去戴日下之度 以弦股别句術求得句二十六度一十七分六十六秒為日出地半弧弦
北京立四丈表夏至日午正測得景長一丈一尺七寸一分隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半為半弧背 求得矢度四十三度七十四分少置周天半徑截矢餘一十七度一十三分二十五秒為句乃本地去戴日下之度 以句弦别股術求得股五十八度四十五分半為日出地半弧弦
以二至日度相併得一百度七十三度折半得五十度三十六分半為北京赤道出地度 以赤道出地度轉減周天四之一餘四十度九十四分九十三秒七十五微為北京北極出地度
弧矢割圓
周天徑一百二十一度七十五分少【少不用】 半徑六十○度八十七分半【又為黄赤道大弦】 二至黄赤道内外半弧背二十四度【所測就整】 二至黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒 黄赤道大句二十三度八十分七十秒黄赤道大股五十六度○二分六十八秒【半徑内減去矢度之數】割圓求矢術 置半弧背度自之為半弧背羃周天徑自之為上廉 上廉乘半弧背羃為正實 上廉乘徑為益從方 半弧背倍之乘徑為下廉 以初商乘上廉得數以減益從方餘為從方 置初商自之以減下廉餘以初商乘之為從廉 從方從廉相竝為下法下法乘初商以減正實實不足減改初商實有不盡次第商除之 倍初商數與次商相竝以乘上亷得數以減益從方餘為從方 幷初商次商而自之又以初商自之竝二數以減下廉餘以初商倍數竝次商乘之為從廉 從方從亷相竝為下法 下法乘次商以減餘實而定次商有不盡者如法商之皆以商得數為矢度之數【黄赤道同用】
如以半弧背一度求矢度 術曰置半弧背一度自之得一度為半弧背羃 置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒為上廉 上廉乘半弧背羃得一萬四千八百二十三度○六分二五為正實 上廉又乘徑得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五為益從方半弧背一度倍之得二度以乘徑得二百四十三度五十分為下廉 初商八十秒 置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得一百一十八度五八四五以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一百八十○萬四千五百八十九度二七四八七五為從方 又置初商八十秒自之得六十四微以減下廉餘二百四十三度四九九九三六仍以八十秒乘之得一度九四七九九九四八八為從廉 以從廉從方竝之共得一百八十○萬四千五百九十一度二二二八七四四八八為下法 下法乘初商得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九○四以減正實餘實三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六 次商二秒 置初商八十秒倍之得一分六十秒加次商二秒得一分六十二秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得二百四十○度一三三六一二五以減益從方餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七六二五為從方 又置初次商八十二秒自之得六十七微加初商八十秒自之之數得一秒三十一微以減下廉餘二百四十三度四九九八六九以前所得一分六十二秒乘之得三度九十四分四六九七八七七八為從廉 以從亷從方竝得一百八十○萬四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八為下法 下法乘次商得三百六十○度八九四三三四○九二○七五五六以減餘實仍餘二十五度四三八三八二九一二○二○四四【不足一秒棄不用下同】
凡求得矢度八十二秒餘度各如上法求到矢度以為黄赤相求及其内外度之根【數詳後】
黄赤道差
求黄道各度下赤道積度術 置周天半徑内減去黄道矢度餘為黄赤道小弦 置黄赤道小弦以黄赤道大股乘之【大股見割圓】為實黄赤道大弦【半徑】為法實如法而一為黄赤道小股 置黄道矢自乘為實以周天全徑為法實如法而一為黄道半背弦差 以差去減黄道積度【即黄道半弧背】餘為黄道半弧弦 置黄道半弧弦自之為股羃黄赤道小股自之為句羃二羃竝之以開平方法除之為赤道小弦 置黄道半弧弦以周天半徑【亦為赤道大弦】乘之為實以赤道小弦為法而一為赤道半弧弦置黄赤道小股【亦為赤道横小句】以赤道大弦【即半徑】乘之為
實以赤道小弦為法而一為赤道横大句以減半徑餘為赤道横弧矢 横弧矢自之為實以全徑為法而一為赤道半背弦差 以差加赤道半弧弦為赤道積度如黄道半弧背一度求赤道積度 術曰置半徑六十○度八十七分五十秒【即黄赤道大弦】内減黄道矢八十二秒餘六十○度八六六八為黄赤道小弦 置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二六八乘之得三千四百一十○度一七二○三○二四為實以黄赤道大弦六十○度八七五為法實如法而一得五十六度○一分九十二秒為黄赤道小股【又為赤道小句】 置矢度八十二秒自之得六十七微以全徑一百二十一度七五為法除之得五十五纎為黄道半背弦差 置黄道半弧背一度内減黄道半背弦差餘為半弧弦因差在微以下不減即用一度為半弧弦 置黄道半弧弦一度自之得一度為股羃黄赤道小股五十六度○一九二自之得三千一百三十八度一五○七六八六四為句羃二羃竝得三千一百三十九度一五○七六八六四為弦實平方開之得五十六度○二八一為赤道小弦 置黄道半弧弦一度以半徑【即赤道大弦】乘之得六十○度八七五為實以赤道小弦五十六度○二八一為法除之得一度○八分六十五秒為赤道半弧弦 置黄赤道小股五十六度○一九二【又為赤道小句】以赤道大弦【半徑】六十○度八七五乘之得三千四百一十○度一六八八為實以赤道小弦為法除之得六十○度八十六分五十三秒為赤道横大句 置半徑六十○度八十七分五十秒内減赤道大句六十○度八十六分五十三秒餘九十七秒為赤道横弧矢 置赤道横弧矢九十七秒自之得九十四微○九以全徑為法除之得七十七纎為赤道背弦差 置赤道半弧弦一度○八分六十五秒加赤道背弦差為赤道積度今差在微已下不加即用半弧弦為積度
凡求得赤道積度一度○八分六十五秒餘度各如上法求到各黄道度下赤道積度兩數相减即得黄赤道差乃至後之率其分後以赤道度求黄道反此求之其數竝同
黄赤道相求弧矢諸率立成上
<史部,正史類,明史,卷三十二>
【黄赤相求弧矢諸率立成】
【下道積皮赤道半弧弦赤 道矢度道積度度率黄赤道差至□黄分後赤至後 赤分後】
<史部,正史類,明史,卷三十二>
<史部,正史類,明史,卷三十二>
按郭守敬創法五端内一曰黄赤道差此其根率也舊法以一百一度相減相乘授時立術以句股弧矢方圓斜直所容求其差數合於渾象之理視古為密顧至元歷經所載甚畧又誤以黄道矢度為積差黄道矢差為差率今正之
凡渾圓中剖則成平圓任割
平圓之一分成弧矢形皆有
弧背有弧弦有矢剖弧矢形
而半之則有半弧背有半弧
弦有矢因弦矢生句股形以
半弧弦為句矢減半徑之餘
為股半徑為弦句股内成小
句股則有小句小股小弦而
大小可互求平側可互用渾
圓之理斯為密近
平者為赤道斜者為黄道因
二至黄赤之距生大句
股因各度黄赤之距生小
句股
外大圓為赤道從北極平
視則黄道在赤道内有赤
道各度即各有其半弧弦
以生大句股又各有其相
當之黄道半弧弦以生小
句股此二者皆可互求
按舊史無圖然表亦圖之屬也今句股割圓弧矢之法實為歷家測算之本非圖不明因存其要者數端
黄赤道内外度
推黄道各度距赤道内外及去極遠近術 置半徑内減去赤道小弦餘為赤道二弦差【又為黄赤道小弧矢又為内外矢又為股弦差】 置半徑内減去黄道矢度餘為黄赤道小弦以二至黄赤道内外半弧弦乘之為實以黄赤道大弦為法【即半徑】除之為黄赤道小弧弦【即黄赤道内外半弧弦又為黄赤道小句】 置
黄赤道小弧矢自之【即赤道二弦差】以全徑除之為半背弦差以差加黄赤道小弧矢為黄赤道小弧半背即黄赤道内外度 置黄赤道内外度視在盈初縮末限以加在縮初盈末限以減皆加減象限度即各得太陽去北極度分如冬至後四十四度求太陽去赤道内外及去極度術曰置半徑六十○度八十七分半内減黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒餘二度五十一分八十一秒為黄赤道小弧矢【即内外矢】 置半徑六十 度八七五内減黄道四十四度矢一十六度五十六分八十二秒餘四十四度三十○分六十八秒為黄赤道小弦 置黄赤道小弦以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之得一千○五十○度五十一分四二三八為實以黄赤道大弦六十○度八七五為法除之得一十七度二十五分六十九秒為黄赤道小弧弦【即内外半弧弦】 置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實以全徑一百二十一度七十五分除之得五分二十一秒為背弦差以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒得一十七度三十○分八十九秒為二至前後四十四度太陽去赤道内外度 置象限九十一度三十一分四十三秒七五以内外度一十七度三○八九加之得一百○八度六十二分三十二秒七五為冬至後四十四度太陽去北極度黄道每度去赤道内外及去北極立成
<史部,正史類,明史,卷三十二>
<史部,正史類,明史,卷三十二>
白道交周
推白赤道正交距黄赤道正交極數 術曰置實測白道出入黄道内外六度為半弧弦又為大圓弧矢又為股弦差置半徑六十○度八七五自之得三千七百○五度七六五六二五以矢六度而一得六百一十七度六十三分為股弦和加矢六度共六百二十三度六十三分為大圓徑依法求得容濶五度七十分又為小句又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大句以大句為法除大股五十六度○六分五十秒得二
度三十七分【就整】為度差 以度差乘小句得小股一十三度四十七分八十二秒為容半長 置半徑六十○度八七五為大弦以乘小句五度七十分為實以大句二十三度七十一分為法除之得一十四度六十三分為小弦又為白赤道正交距黄赤道正交半弧弦 依法求得半弧背一十四度六十六分為白赤道正交距黄赤道正交極數
志第八
歷二
大統歷法一上【法原】
造歷者各有本原史宜備録使後世有以考如太初之起數鍾律大衍之造端蓍策皆詳本志授時歷以測驗算術為宗惟求合天不牽合律呂卦爻然其法之所以立數之所從出以及晷影星度皆有全書郭守敬齊履謙傳中有書名可考元史漫無采摭僅存李謙之議録歷經之初稿其後改三應率及立成之數與夫割圓弧矢之法平立定三差之原盡削不載使作者精意湮沒識者憾焉今據大統歷通軌及歷草諸書稍為編次首法原次立成次推步而法原之目七曰句股測望曰弧矢割圓曰黄赤道差曰黄赤道内外度曰白道交周曰日月五星平立定三差曰里差刻漏
句股測望
北京立四丈表冬至日午正測得景長七丈九尺八寸五分隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半為半弧背 求得矢度五度九十一分半 置周天半徑截矢餘五十四度九十六分為股乃本地去戴日下之度 以弦股别句術求得句二十六度一十七分六十六秒為日出地半弧弦
北京立四丈表夏至日午正測得景長一丈一尺七寸一分隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半為半弧背 求得矢度四十三度七十四分少置周天半徑截矢餘一十七度一十三分二十五秒為句乃本地去戴日下之度 以句弦别股術求得股五十八度四十五分半為日出地半弧弦
以二至日度相併得一百度七十三度折半得五十度三十六分半為北京赤道出地度 以赤道出地度轉減周天四之一餘四十度九十四分九十三秒七十五微為北京北極出地度
弧矢割圓
周天徑一百二十一度七十五分少【少不用】 半徑六十○度八十七分半【又為黄赤道大弦】 二至黄赤道内外半弧背二十四度【所測就整】 二至黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒 黄赤道大句二十三度八十分七十秒黄赤道大股五十六度○二分六十八秒【半徑内減去矢度之數】割圓求矢術 置半弧背度自之為半弧背羃周天徑自之為上廉 上廉乘半弧背羃為正實 上廉乘徑為益從方 半弧背倍之乘徑為下廉 以初商乘上廉得數以減益從方餘為從方 置初商自之以減下廉餘以初商乘之為從廉 從方從廉相竝為下法下法乘初商以減正實實不足減改初商實有不盡次第商除之 倍初商數與次商相竝以乘上亷得數以減益從方餘為從方 幷初商次商而自之又以初商自之竝二數以減下廉餘以初商倍數竝次商乘之為從廉 從方從亷相竝為下法 下法乘次商以減餘實而定次商有不盡者如法商之皆以商得數為矢度之數【黄赤道同用】
如以半弧背一度求矢度 術曰置半弧背一度自之得一度為半弧背羃 置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒為上廉 上廉乘半弧背羃得一萬四千八百二十三度○六分二五為正實 上廉又乘徑得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五為益從方半弧背一度倍之得二度以乘徑得二百四十三度五十分為下廉 初商八十秒 置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得一百一十八度五八四五以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一百八十○萬四千五百八十九度二七四八七五為從方 又置初商八十秒自之得六十四微以減下廉餘二百四十三度四九九九三六仍以八十秒乘之得一度九四七九九九四八八為從廉 以從廉從方竝之共得一百八十○萬四千五百九十一度二二二八七四四八八為下法 下法乘初商得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九○四以減正實餘實三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六 次商二秒 置初商八十秒倍之得一分六十秒加次商二秒得一分六十二秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得二百四十○度一三三六一二五以減益從方餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七六二五為從方 又置初次商八十二秒自之得六十七微加初商八十秒自之之數得一秒三十一微以減下廉餘二百四十三度四九九八六九以前所得一分六十二秒乘之得三度九十四分四六九七八七七八為從廉 以從亷從方竝得一百八十○萬四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八為下法 下法乘次商得三百六十○度八九四三三四○九二○七五五六以減餘實仍餘二十五度四三八三八二九一二○二○四四【不足一秒棄不用下同】
凡求得矢度八十二秒餘度各如上法求到矢度以為黄赤相求及其内外度之根【數詳後】
黄赤道差
求黄道各度下赤道積度術 置周天半徑内減去黄道矢度餘為黄赤道小弦 置黄赤道小弦以黄赤道大股乘之【大股見割圓】為實黄赤道大弦【半徑】為法實如法而一為黄赤道小股 置黄道矢自乘為實以周天全徑為法實如法而一為黄道半背弦差 以差去減黄道積度【即黄道半弧背】餘為黄道半弧弦 置黄道半弧弦自之為股羃黄赤道小股自之為句羃二羃竝之以開平方法除之為赤道小弦 置黄道半弧弦以周天半徑【亦為赤道大弦】乘之為實以赤道小弦為法而一為赤道半弧弦置黄赤道小股【亦為赤道横小句】以赤道大弦【即半徑】乘之為
實以赤道小弦為法而一為赤道横大句以減半徑餘為赤道横弧矢 横弧矢自之為實以全徑為法而一為赤道半背弦差 以差加赤道半弧弦為赤道積度如黄道半弧背一度求赤道積度 術曰置半徑六十○度八十七分五十秒【即黄赤道大弦】内減黄道矢八十二秒餘六十○度八六六八為黄赤道小弦 置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二六八乘之得三千四百一十○度一七二○三○二四為實以黄赤道大弦六十○度八七五為法實如法而一得五十六度○一分九十二秒為黄赤道小股【又為赤道小句】 置矢度八十二秒自之得六十七微以全徑一百二十一度七五為法除之得五十五纎為黄道半背弦差 置黄道半弧背一度内減黄道半背弦差餘為半弧弦因差在微以下不減即用一度為半弧弦 置黄道半弧弦一度自之得一度為股羃黄赤道小股五十六度○一九二自之得三千一百三十八度一五○七六八六四為句羃二羃竝得三千一百三十九度一五○七六八六四為弦實平方開之得五十六度○二八一為赤道小弦 置黄道半弧弦一度以半徑【即赤道大弦】乘之得六十○度八七五為實以赤道小弦五十六度○二八一為法除之得一度○八分六十五秒為赤道半弧弦 置黄赤道小股五十六度○一九二【又為赤道小句】以赤道大弦【半徑】六十○度八七五乘之得三千四百一十○度一六八八為實以赤道小弦為法除之得六十○度八十六分五十三秒為赤道横大句 置半徑六十○度八十七分五十秒内減赤道大句六十○度八十六分五十三秒餘九十七秒為赤道横弧矢 置赤道横弧矢九十七秒自之得九十四微○九以全徑為法除之得七十七纎為赤道背弦差 置赤道半弧弦一度○八分六十五秒加赤道背弦差為赤道積度今差在微已下不加即用半弧弦為積度
凡求得赤道積度一度○八分六十五秒餘度各如上法求到各黄道度下赤道積度兩數相减即得黄赤道差乃至後之率其分後以赤道度求黄道反此求之其數竝同
黄赤道相求弧矢諸率立成上
<史部,正史類,明史,卷三十二>
【黄赤相求弧矢諸率立成】
【下道積皮赤道半弧弦赤 道矢度道積度度率黄赤道差至□黄分後赤至後 赤分後】
<史部,正史類,明史,卷三十二>
<史部,正史類,明史,卷三十二>
按郭守敬創法五端内一曰黄赤道差此其根率也舊法以一百一度相減相乘授時立術以句股弧矢方圓斜直所容求其差數合於渾象之理視古為密顧至元歷經所載甚畧又誤以黄道矢度為積差黄道矢差為差率今正之
凡渾圓中剖則成平圓任割
平圓之一分成弧矢形皆有
弧背有弧弦有矢剖弧矢形
而半之則有半弧背有半弧
弦有矢因弦矢生句股形以
半弧弦為句矢減半徑之餘
為股半徑為弦句股内成小
句股則有小句小股小弦而
大小可互求平側可互用渾
圓之理斯為密近
平者為赤道斜者為黄道因
二至黄赤之距生大句
股因各度黄赤之距生小
句股
外大圓為赤道從北極平
視則黄道在赤道内有赤
道各度即各有其半弧弦
以生大句股又各有其相
當之黄道半弧弦以生小
句股此二者皆可互求
按舊史無圖然表亦圖之屬也今句股割圓弧矢之法實為歷家測算之本非圖不明因存其要者數端
黄赤道内外度
推黄道各度距赤道内外及去極遠近術 置半徑内減去赤道小弦餘為赤道二弦差【又為黄赤道小弧矢又為内外矢又為股弦差】 置半徑内減去黄道矢度餘為黄赤道小弦以二至黄赤道内外半弧弦乘之為實以黄赤道大弦為法【即半徑】除之為黄赤道小弧弦【即黄赤道内外半弧弦又為黄赤道小句】 置
黄赤道小弧矢自之【即赤道二弦差】以全徑除之為半背弦差以差加黄赤道小弧矢為黄赤道小弧半背即黄赤道内外度 置黄赤道内外度視在盈初縮末限以加在縮初盈末限以減皆加減象限度即各得太陽去北極度分如冬至後四十四度求太陽去赤道内外及去極度術曰置半徑六十○度八十七分半内減黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒餘二度五十一分八十一秒為黄赤道小弧矢【即内外矢】 置半徑六十 度八七五内減黄道四十四度矢一十六度五十六分八十二秒餘四十四度三十○分六十八秒為黄赤道小弦 置黄赤道小弦以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之得一千○五十○度五十一分四二三八為實以黄赤道大弦六十○度八七五為法除之得一十七度二十五分六十九秒為黄赤道小弧弦【即内外半弧弦】 置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實以全徑一百二十一度七十五分除之得五分二十一秒為背弦差以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒得一十七度三十○分八十九秒為二至前後四十四度太陽去赤道内外度 置象限九十一度三十一分四十三秒七五以内外度一十七度三○八九加之得一百○八度六十二分三十二秒七五為冬至後四十四度太陽去北極度黄道每度去赤道内外及去北極立成
<史部,正史類,明史,卷三十二>
<史部,正史類,明史,卷三十二>
白道交周
推白赤道正交距黄赤道正交極數 術曰置實測白道出入黄道内外六度為半弧弦又為大圓弧矢又為股弦差置半徑六十○度八七五自之得三千七百○五度七六五六二五以矢六度而一得六百一十七度六十三分為股弦和加矢六度共六百二十三度六十三分為大圓徑依法求得容濶五度七十分又為小句又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大句以大句為法除大股五十六度○六分五十秒得二
度三十七分【就整】為度差 以度差乘小句得小股一十三度四十七分八十二秒為容半長 置半徑六十○度八七五為大弦以乘小句五度七十分為實以大句二十三度七十一分為法除之得一十四度六十三分為小弦又為白赤道正交距黄赤道正交半弧弦 依法求得半弧背一十四度六十六分為白赤道正交距黄赤道正交極數
